假设小浣熊随机赠送的卡片共有 108 种（出现概率相同），那么集齐所有卡片所需购买小浣熊包数的数学期望是多少？

参考答案

明确几个性质：

  1. 假设硬币丢正面的概率为p，那么第一次丢到正面的平均次数为1/p
  2. 抽到全部k张卡片所需要的次数= 抽到第一张所需要的次数+抽到第二张所需要的次数+...+ 抽到第k张所需要的次数。

显然，根据2和随机变量期望的线性叠加，我们有：

答案 = E(抽到全部k张卡片所需要的次数) = E(抽到第一张所需要的次数)+E(抽到第二张所需要的次数)+...+ E(抽到第k张所需要的次数)

假设一共有有n张卡片需要抽到，那么抽到第一张的概率为（抽到任何一张都属于被抽到的第一张）p = n/n = 1

根据 1) ，我们有：

E(抽到第一张所需要的次数) = 1/p = 1

那么抽到第二张的概率为（只要不重复抽到第一张，就属于抽到第二张）:

p = (n-1)/n

根据1），我们有：

E(抽到第二张所需要的次数) = 1/p = n/(n-1)

那么抽到第三张的概率为（只要不重复抽到前两张，就属于抽到第三张）：

p = (n-2)/n 根据1），我们有E(抽到第三张所需要的次数) = 1/p = n/(n-2)

以此类推，答案 = E(抽到全部k张卡片所需要的次数) = 1 + n/(n-1) + n/(n-2) + ... + n/(n-k+1)n = 108的时候，原题问的是 k = 108，带入即可得到答案。

答案是519